Acest articol explorează probleme matematice captivante, care vă vor pune mintea la încercare. Multe dintre ele se bazează pe Principiul Cutiei (cunoscut și sub numele de Principiul Porumbeilor). Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Problema acoperirii unui triunghi

Câte triunghiuri echilaterale mai mici sunt necesare pentru a acoperi un triunghi echilateral? Triunghiurile mai mici nu trebuie să fie identice și se pot suprapune. Răspunsul este 3. Demonstrația se face prin excluderea posibilității mai mici: este evident că cu 3 este posibil și nu este greu de demonstrat (cum?) că cu 2 nu este posibil.

Problema celor cinci puncte

Într-un triunghi echilateral sunt cinci puncte. Trebuie demonstrat că distanța dintre oricare două puncte nu depășește jumătate din lungimea laturii triunghiului. Să analizăm soluția lui Francisco Montesinos: „Unind punctele de mijloc ale laturilor triunghiului echilateral inițial, se obțin 4 triunghiuri cu latura de 1/2 m. În mod necesar, vor exista 2 puncte din cele 5 date în interiorul aceluiași triunghi dintre acestea din urmă reduse, deci distanța d nu va putea fi d>1/2”. Efectiv, împărțind triunghiul inițial în 4 triunghiuri egale, se creează o „porumbărie” cu 4 „cuști” în care trebuie să fie plasate 5 „porumbei”, adică puncte. Distanța maximă care poate exista într-un triunghi echilateral cu latura de 1/2 m este tocmai lungimea laturii, prin urmare, două puncte situate în el pot fi, cel mult, la 1/2 m distanță (și sunt, evident, vârfurile triunghiului).

Interesantă este și abordarea lui Rafael Granero:

„Cu siguranță, există patru puncte care corespund celei mai mari îndepărtări și chiar se poate spune că, având în vedere patru puncte, acestea sunt cele mai îndepărtate care pot fi între ele: cele trei vârfuri și centrul. Centrul se află la 57,7 cm de oricare dintre cele trei vârfuri. Orice mișcare, oricât de mică ar fi, a punctului situat în centru va face inevitabil ca distanța față de unul sau două dintre vârfuri să scadă. Și același lucru este valabil pentru fiecare dintre cele situate în vârfuri în raport cu celelalte trei puncte. Singurele puncte care sunt la o distanță mai mare de 50 cm sunt cele care se află în afara unui cerc cu raza de 50, cu centrul în centrul triunghiului echilateral. Dar în fiecare dintre cele trei zone, toate punctele sunt la mai puțin de 8 cm de punctul cel mai îndepărtat, care este vârful, deci nu există nicio modalitate de a plasa un al cincilea punct la mai mult de 50 cm de celelalte patru”.

Problema cu zarul

Cu ce probabilitate va trebui să aruncați zarul de 13 ori pentru a obține trei numere identice? Răspunsul lui Juan Zubieta: „Probabilitatea de a ajunge până la aruncarea 13 este coeficientul dintre permutările posibile cu 6 perechi de numere (12!/2^6) și toate secvențele posibile de aruncări (6^12). Rezultatul este: 1925/559872 (aproximativ o șansă la 291)”. (Rețineți că nu este vorba de a obține de 3 ori un număr specific, de exemplu, 6, ci de a face ca un număr să apară de cel puțin 3 ori).

„Porumbăria” de mare risc

Dat fiind setul {1, 2, …, 2n}, demonstrați că în orice submulțime de n+1 numere vor exista cel puțin două astfel încât unul să fie multiplu al celuilalt. Nu încercați să rezolvați acest lucru în orele de căldură maximă – porumbeii din această „porumbărie” de mare risc v-ar putea prăji neuronii.

Aceste probleme ilustrează modul în care Principiul Cutiei poate fi aplicat pentru rezolvarea diverselor puzzle-uri și probleme. Încercați-vă norocul și găsiți propriile soluții!